Révision mathématiques et physiques

Pour déterminer si le triangle est rectangle, il suffit de déterminer les pentes des droites supportant les côtés du triangle.
Il suffit alors de déterminer si une des pentes est l'opposé de l'inverse de l'autre...

$$ \text{pente de }d_1=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{7 - 1}{10 - (-5)} = \dfrac{2}{5} \\[1.2em] \text{pente de }d_2=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-10 - 2}{6 - (-2)} = \dfrac{-3}{2} \\[1.2em] \text{pente de }d_3=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-3 - 12}{4 - (-2)} = \dfrac{-5}{2} $$

La pente de \( d_1 \) est l'inverse de l'opposé de \( d_ 3 \). Le triangle est donc rectangle.

On commence par déterminer les combinaisons possibles des sacs de billes.

• AAAA : 4 billes de la même couleur
• AAAB : 3 billes identiques, 1 différente
• AABB : 2 billes identiques, 2 autres billes identiques
• AABC : 2 billes identiques, 2 billes de couleurs différentes
• ABCD : 4 billes de couleurs différentes

AAAA : 4 billes de la même couleur

Il y a 4 couleurs, donc 4 possibilités.
\( \Rightarrow 4 \text{ sacs}\)

AAAB : 3 billes identiques, 1 différente

On peut mettre 4 couleurs pour les 3 billes identiques.
Il ne reste que 3 choix pour la bille différente.
\( \Rightarrow 4\cdot 3 = 12 \text{ sacs} \)

AABB : 2 billes identiques, 2 autres billes identiques

On peut mettre 4 couleurs pour la 1^ère paire de billes.
Il ne reste que 3 choix pour la seconde paire.
Mais il n'est pas possible de distinguer un sac où l'on a pris :

• d'abord 2 rouges, puis 2 vertes
• d'abord 2 vertes, puis 2 rouges

Il faut donc diviser par \( 2! = 2 \)
\( \Rightarrow \dfrac{4\cdot 3}{2} = 6 \text{ sacs} \)

AABC : 2 billes identiques, 2 billes de couleurs différentes

Il y a 4 choix pour la paire de billes.
Il y a 3 choix pour la première bille différente
Il y a 2 choix pour la deuxième bille différente
Les deux billes individuelles ont pu être prises dans n'importe quel ordre \( \Rightarrow \div 2! = 2 \)
\( \Rightarrow \dfrac{4\cdot 3 \cdot 2}{2} = 12 \text{ sacs} \)

ABCD : 4 billes de couleurs différentes

Il n'y a qu'une façon de remplir un sac avec 4 couleurs différentes.
\( \Rightarrow 1 \)

Récapitulatif

On obtient $$ 4 + 12 + 6 + 12 + 1 = 35 $$ sacs de billes différents.

Détermination de la quantité d'énergie disposition.

$$ \begin{aligned} E_{\text{thermique chaud}}&=m_{eau}\cdot c_{eau} \cdot \Delta T_{ \rightarrow 0} + m_{alu}\cdot c_{alu} \cdot \Delta T_{40 \rightarrow 0} \\ \space &= 0.2 \cdot 4'180 \cdot (40 - 0) + 0.25 \cdot 900 \cdot (40 - 0) = 42'440 [J] \end{aligned} $$

Détermination de la quantité d'énergie nécessaire pour faire fondre la glace.

$$ \begin{aligned} E_{\text{thermique froid}}&=m_{glace}\cdot c_{glace} \cdot \Delta T_{-15 \rightarrow 0} + m_{glace}\cdot L_f \\ \space &= 0.15 \cdot 2'060 \cdot (0 - (-15)) + 0.15 \cdot 330'000 = 54'135 [J] \end{aligned} $$

Il n'y a pas assez d'énergie pour faire fondre toute la glace. L'énergie manquante correspond à la quantité de glace non fondue.

$$ \begin{aligned} m_{\text{glace non fondue}}\cdot L_f &= E_{\text{thermique froid}} - E_{\text{thermique chand}} \\ m_{\text{glace non fondue}} &= \dfrac{E_{\text{thermique froid}} - E_{\text{thermique chand}}}{L_f} \\ m_{\text{glace non fondue}} &= \dfrac{37805}{330'000} \\ m_{\text{glace non fondue}} &= 0.0354 [kg] = 35.4 [g] \\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} E_{chaude}&=E_{froide} \\ E_{\text{fer 1800 - 1538}}+E_{\text{fer liquide - solide}}+E_{\text{fer 1538 - Té}} &= E_{\text{eau 20 - Té}} + E_{\text{calorimètre}} \\ m_{\text{fer}}\cdot c_{\text{fer liquide}}\cdot \Delta T_{1800\rightarrow 1538} + m_{\text{fer}}\cdot Lf_{fer} + m_{\text{fer}}\cdot c_{\text{fer solide}}\cdot \Delta T_{1538\rightarrow \text{Té}} &=m_{\text{eau}}\cdot c_{\text{eau}}\cdot \Delta T_{\text{Té}\rightarrow 20} + \mu \cdot \Delta T_{\text{Té}\rightarrow 20} \\ 0.08\cdot 830\cdot (1800-1538) +0.08\cdot 2.670\cdot 10^{5} + 0.08\cdot 440\cdot (1538-\text{Té}) &= 0.4\cdot 4180 \cdot (\text{Té}-20) + 72\cdot (\text{Té}-20)\\ 17396.8 + 21360 + 35.2\cdot (1538-\text{Té}) &= 1672\cdot (\text{Té}-20) + 72\cdot (\text{Té}-20)\\ 38756.8 + 54137.6 - 35.2\text{Té} &= 1672\cdot \text{Té} - 33440 + 72\cdot \text{Té}-1440\\ 1779.2\cdot \text{Té} &= 127774.4 \\ \text{Té} &= 71.8 \end{aligned} $$

$$ F_{\text{enseigne}} = m\cdot g = 25\cdot 10 = 250 [N] $$ $$ F_{\text{barre}} = m\cdot g = 10\cdot 10 = 100 [N] $$ $$ sin(180-90-\alpha)=\frac{d_\perp}{d}\implies $$ $$ d_\perp = sin(180-90-\alpha)\cdot d = sin(180-90-30)\cdot 1.2 = 0.866 $$

La somme des moments de forces qui font tourner le système dans un sens vaut la somme des moments le faisant tourner dans l'auter sens: $$ \begin{aligned} M_{F_{\text{enseigne}}} + M_{F_{\text{barre}}} &= M_{F_{\text{chaîne}}} \\ F_{\text{enseigne}}\cdot d + F_{\text{barre}}\cdot \dfrac{d}{2} &= F_{\text{chaîne}}\cdot d_{\perp} \\ F_{\text{chaîne}} &= \dfrac{F_{\text{enseigne}}\cdot d + F_{\text{barre}}\cdot \dfrac{d}{2}}{d_\perp} \\ F_{\text{chaîne}} &= \dfrac{ 250 \cdot 1.2 + 100 \cdot \dfrac{1.2}{2}}{0.866} = 41.569 [N] \end{aligned} $$

Calculs de la masse d'acier

$$ \begin{aligned} P_A &= F_P - F_A \\ P_A &= m \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot V \cdot g \\ P_A &= (m_{acier} + m_{plomb}) \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot (V_{acier} + V_{plomb}) \cdot g \\ P_A &= (m_{acier} + m_{plomb}) \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot \left(\frac{m_{acier}}{\rho_{acier}} + \frac{m_{plomb}}{\rho_{plomb}}\right) \cdot g \\ P_A &= m_{acier} \cdot g + m_{plomb} \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot g \cdot \frac{m_{acier}}{\rho_{acier}} + \rho_{glycérine} \cdot g \cdot \frac{m_{plomb}}{\rho_{plomb}} \\ m_{acier} \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot g \cdot \frac{m_{acier}}{\rho_{acier}} &= P_A - m_{plomb} \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot g \cdot \frac{m_{plomb}}{\rho_{plomb}} \\ m_{acier} \cdot \left( g - \frac{\rho_{glycérine} \cdot g}{\rho_{acier}} \right) &= P_A - m_{plomb} \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot g \cdot \frac{m_{plomb}}{\rho_{plomb}} \\[1.5em] m_{acier} &= \frac{ P_A - m_{plomb} \cdot g - \rho_{glycérine} \cdot g \cdot \dfrac{m_{plomb}}{\rho_{plomb}} }{ g - \dfrac{\rho_{glycérine} \cdot g}{\rho_{acier}} } \\[1.5em] m_{acier} &= \frac{ 20 - 1 \cdot 10 - 1260 \cdot 10 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11300 } }{ 10 - \dfrac{ 1260 \cdot 10}{ 7850 } } \\ m_{acier} &= 1.32 \left[kg\right] \end{aligned} $$

Calculs du diamètre de la sphère

Volume de la sphère $$ V = V_{acier} + V_{plomb} = \frac{m_{acier}}{\rho_{acier}} +\frac{m_{plomb}}{\rho_{plomb}} = \frac{ 1.32 }{ 7850 } +\frac{ 1 }{ 11300 } = 2.57\cdot 10^{-4} \left[m^3\right] $$ Rayon de la sphère $$ V_{sphère} = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow r^3 = \frac{ 3 \cdot V_{sphère} }{ 4 \cdot \pi } \Rightarrow r = \sqrt[3]{ \frac{3 \cdot V_{sphère} }{ 4 \cdot \pi } } = 0.0 [m] \Rightarrow d = 2\cdot r = 7.9 [cm] $$

Valeurs des tables

$$ m_{Terre} = 5.974\cdot 10^{24} [kg] \\ m_{Lune} = 7.350\cdot 10^{22} [kg] \\ d_{Terre-Lune} = 3.844\cdot 10^{8} [m] $$

Pose de l'équation

\( x = \) la distance entre les centres de gravité de la Terre et l'Objet.
\( d-x = \) vaut la distance entre les centres de gravité de la Lune et l'Objet

$$ \begin{alignedat}{2} F_{Terre-Objet} &= F_{Lune-Objet} &\qquad &\, \\[2em] G \cdot \frac{m_{Terre}\cdot m_{Objet}}{x^2} &= G \cdot \frac{m_{Lune}\cdot m_{Objet}}{(d-x)^2} &\qquad &\div G \\[2em] \frac{m_{Terre}\cdot m_{Objet}}{x^2} &= \frac{m_{Lune}\cdot m_{Objet}}{(d-x)^2} &\qquad &\div m_{Objet} \\[2em] \frac{m_{Terre}}{x^2} &= \frac{m_{Lune}}{(d-x)^2} &\qquad &\cdot (d-x)^2 \\[2em] \frac{(d-x)^2 \cdot m_{Terre}}{x^2} &= m_{Lune} &\qquad &\cdot x^2 \\[2em] (d-x)^2 \cdot m_{Terre} &= x^2 \cdot m_{Lune} &\qquad &\, \\[2em] (d^2-2dx+x^2) \cdot m_{Terre} &= x^2 \cdot m_{Lune} &\qquad &\, \\[2em] m_{Terre} \cdot d^2-2m_{Terre} \cdot dx+m_{Terre} \cdot x^2 &= m_{Lune} \cdot x^2 &\qquad & -m_{Lune} \cdot x^2 \\[2em] m_{Terre} \cdot d^2-2m_{Terre} \cdot dx+m_{Terre} \cdot x^2 - m_{Lune} \cdot x^2 &= 0 &\qquad & \, \\[2em] m_{Terre} \cdot d^2-2m_{Terre} \cdot dx+ (m_{Terre}- m_{Lune}) \cdot x^2 &= 0 &\qquad &\, \\[2em] (m_{Terre}- m_{Lune}) \cdot x^2 -2m_{Terre} \cdot dx + m_{Terre} \cdot d^2 &= 0 &\qquad &\, \\[2em] \end{alignedat} $$

On remplace par les valeurs

$$ \begin{alignedat}{2} ( 5.974\cdot 10^{24} - 7.350\cdot 10^{22} ) \cdot x^2 -2 \cdot 5.974\cdot 10^{24} \cdot 3.844\cdot 10^{8} x + 5.974\cdot 10^{24} \cdot ( 3.844\cdot 10^{8} )^2 &= 0 &\qquad &\, \\[2em] ( 597.36 - 7.35 ) \cdot x^2 -2 \cdot 597.36 \cdot 3.844\cdot 10^{8} x + 597.36 \cdot (3.844\cdot 10^{8})^2 &= 0 &\qquad &\div 10^{22} \\[2em] 590.01 \cdot x^2 - 4.593\cdot 10^{11} \cdot x + 8.827\cdot 10^{19} &= 0 &\qquad &\, \\[2em] \end{alignedat} $$

On utilise la formule de Viète

$$ \begin{aligned} \Delta &= b^2-4ac \\[1.5em] \, &= (4.593\cdot 10^{11})^2-4\cdot 590.01 \cdot 8.827\cdot 10^{19} \\[1.5em] \, &= 2.595\cdot 10^{21} = \left(5.094\cdot 10^{10}\right)^2 \\[1.5em] x_{1,2} &= \frac{4.593\cdot 10^{11} \pm \sqrt\Delta}{2\cdot 590.01} \\[1.5em] \, &= \frac{4.593\cdot 10^{11} \pm 5.094\cdot 10^{10}}{1180.02} \\[1.5em] x_1 &= 4.324\cdot 10^{8} \\[1.5em] x_2 &= 3.460\cdot 10^{8} \\[1.5em] \end{aligned} $$

On peut éliminer la valeure \( x_1 \) car elle est plus grande que \( d_{Terre-Lune} \)

L'altitude cherchée est donc \( h = d_{Terre-Lune} - x_2 = 3.844\cdot 10^{8} - 3.460\cdot 10^{8} = 3.838\cdot 10^{7} [m] \)

Posons le référentiel en bas de la descente (altitude = 0 [m])

Calcul l'angle de la pente \( \alpha \):

$$ tan(\alpha)=\text{pente}=\dfrac{8}{100}\implies \alpha = tan^{-1}\left( \dfrac{8}{100} \right) = 4.574 \degree $$

Calcul de la différence de hauteur \( \Delta h \):

$$ sin(\alpha)=\dfrac{\Delta h}{\text{hypothénuse}}\implies \Delta h = sin(\alpha)\cdot \text{hypothénuse} = sin( 4.574 \degree )\cdot 160 = 12.759 [m] $$

Relation de la conservation de l'énergie mécanique:

$$ \begin{aligned} E_{\text{mécanique en bas}} &= E_{\text{mécanique en haut}} \\ E_{\text{potentiel en bas}}+E_{\text{cinétique en bas}} +E_{frottement} &= E_{\text{potentiel en haut}}+E_{\text{cinétique en haut}} \\ m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{bas}} + \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{bas}}^2 + F_{\text{frottement}}\cdot d &= m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{haut}} + \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{haut}}^2 \\ 2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{bas}} + m\cdot v_{\text{bas}}^2 + 2\cdot F_{\text{frottement}}\cdot d &= 2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{haut}} + m\cdot v_{\text{haut}}^2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} m\cdot v_{\text{bas}}^2 &= 2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{haut}} + m\cdot v_{\text{haut}}^2 - 2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{bas}} - 2\cdot F_{\text{frottement}}\cdot d \\ v_{\text{bas}}^2 &= \dfrac{2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{haut}} + m\cdot v_{\text{haut}}^2 - 2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{bas}} - 2\cdot F_{\text{frottement}}\cdot d}{m} \\ v_{\text{bas}} &= \sqrt{\dfrac{2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{haut}} + m\cdot v_{\text{haut}}^2 - 2\cdot m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{bas}} - 2\cdot F_{\text{frottement}}\cdot d}{m}} \\ v_{\text{bas}} &= \sqrt{\dfrac{2\cdot (24 + 48) \cdot 10\cdot 12.759 + (24 + 48)\cdot 6^2 - 2\cdot (24 + 48)\cdot 10\cdot 0 - 2\cdot 150\cdot 160}{24 + 48}} \\ v_{\text{bas}} &= 17.064 \left[\frac{m}{s}\right] = 61.4304 \left[\frac{km}{h}\right] \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} E_{\text{mécanique en haut}} &= E_{\text{mécanique en bas}} \\ E_{\text{potentiel en haut}}+E_{\text{cinétique en haut}} +E_{frottement} &= E_{\text{potentiel en bas}}+E_{\text{cinétique en bas}} +E_{frottement} \\ m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{haut}} + \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{haut}}^2 &= \underbrace{m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{bas}}}_{=0} + \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{bas}}^2 + E_{\text{frottement}} \\ E_{\text{frottement}} &= m\cdot g\cdot \Delta h_{\text{haut}} + \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{haut}}^2 - \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{bas}}^2 \\ E_{\text{frottement}} &= 845 \cdot 10 \cdot (1425 - 830) + \dfrac{1}{2}\cdot 845 \cdot \left(\dfrac{40}{3.6}\right)^2 - \dfrac{1}{2}\cdot 845\cdot \left(\dfrac{120}{3.6}\right)^2\\ E_{\text{frottement}} &= 4'610'466 [J] \end{aligned} $$

Les pentes sont égales si le paramètre \( m \) est solution de l'équation suivante:

$$ \begin{aligned} 2m^2+7m-3 &= m^2+11m+9 \\ m^2-4m-12 &= 0 \\ (m-6)(m +2) &= 0 \\ S_{pentes} &= \{6, -2\} \end{aligned} $$

Les ordonnées à l'origine sont égales si le paramètre \( m \) est solution de l'équation suivante:

$$ \begin{aligned} 4m^2-7m+1 &= 3m^2-14m-11 \\ m^2+7m+12 &= 0 \\ (m+3)(m +4) &= 0 \\ S_{ordonnées} &= \{-3, -4\} \end{aligned} $$

Les fonctions affines seront confondues lorsque le paramètre \( m \) fait partie des solutions \( S_{pentes} \) et \( S_{ordonnées} \)

\( S_{pentes} \cap S_{ordonnée} = \emptyset \implies \) il n'y a pas de solution.

Les fonctions affines seront parallèles disjointes lorsque le paramètre \( m \) fait partie des solutions \( S_{pentes} \) mais pas de \( S_{ordonnées} \)

\( S_{pentes} \setminus S_{ordonnée} = \{ -2, 6 \} \implies \) il y a 2 solutions.

Les fonctions affines seront concourantes lorsque le paramètre \( m \) ne fait pas partie des solutions \( S_{pentes} \)

\( \mathbb{R} \setminus S_{pentes} = \mathbb{R} \setminus \{ -2,6 \} \)

On réordonne et on réduit l'équation:

$$ \begin{aligned} 5 m^2 x+7 m x-6 x+2 m^2-7 m-6&=4 m^2 x+6 m x+3 m^2-2 m \\ m^2x+mx-6 x&=m^2+5 m+6 \\ ( m^2+m-6) x&= m^2+5 m+6 \\ (m+3)(m-2)x &= (m+2)(m+3) \end{aligned} $$

Les solutions de l'équations sont: $$ S_x = \{-3;2\} $$ $$ S_{\text{droite}} = \{-3;-2\}$$

La solution est \( S=\mathbb{R} \) si \( m \in S_x \cap S_{\text{droite}} \)

$$ S = \mathbb{R} \text{ si } m \in S=\{ -3 \} $$

La solution est \( S=\emptyset \) si \( m \in S_x \setminus S_{\text{droite}} \)

$$ S = \emptyset \text{ si } m \in S=\{ 2 \} $$

La solution générale est donnée par:

$$ S = \left\{ \dfrac{(m+2)}{(m-2)} \right\} $$