Factorisation

La factorisation consiste à modifier une expression littérale en un produit de polynôme de degré un. $$ x^2+6x+9=(x+3)^2 $$ Il existe plusieurs méthodes pour factoriser un polynôme. En général, il est recommandé de suivre les étapes dans cet ordre.
Mise en évidence $$ x^3+3x^2 = x^2(x+3) $$
Produits remarquables $$ x^2+8x+16 = (x+4)^2 $$
Décomposition du trinôme $$ x^2+12x+35 = (x+5)(x+7) $$

Mise en évidence
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On recherche le facteur commun:
OK
$$ = \fcolorbox{#007bff}{white}{4x}\cdot 2x^2 + \fcolorbox{#007bff}{white}{4x}\cdot x - \fcolorbox{#007bff}{white}{4x}\cdot 4 $$
On place le facteur commun devant et on complète:
$$= \fcolorbox{#007bff}{white}{4x} \cdot ( 2x^2 + x - 4)$$

Produits remarquables
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$$ 16x^2+24x+9 $$

Il faut identifier le produit remarquable:

  • $$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$$
  • $$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$$
  • $$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$$
Pour commencer, on détermine si le 1et et le dernier monôme sont bien des carrés.
$$ = \fcolorbox{#007bff}{white}{ $16x^2$ } + 24x + \fcolorbox{#007bff}{white}{9} $$ $$ A^2 = 16x^2 \Rightarrow A = 4x $$ $$ B^2 = 9 \Rightarrow B = 3 $$
On contrôle que le monôme central est bien le double-produit \( 2AB \)
$$ 2AB = 2\cdot 4x \cdot 3 = 24x $$
Si c'est le cas, on peut alors factoriser:
$$ 16x^2+24x+9 = (4x + 3)^2 $$

Décomposition du trinôme
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Le trinôme doit être unitaire. Ici, il commence bien par \( x^2 \).
On cherche donc \( a \) et \( b \) tel que:
Les signes des 2ème et 3ème monômes permettent de déterminer les signes de la factorisation:
  • Si le signe du 3ème monôme est positif, a et b seront de même signe
La factorisation est donc $$ x^2+11x+24 = (x + 8)(x + 3) $$