Résolution d'équations: de débutant à expert.

Prérequis:
on suppose que le lecteur sait:
  • reconnaîtres des monômes et des polynômes
  • additionner, soustraire deux monômes

Table des matières

  1. Equation du 1er degré
  2. Equation du 2ème degré par factorisation
  3. Equation du 2ème degré par la formule

Résolution d'équation du 1er degré

Pour résoudre une équation, on doit isoler la variable \(x\) d'un côté de l'équation et mettre tout le reste de l'autre côté. Par exemple: \(x=3\)

Pour modifier une équation, on a le droit d'utiliser les opérations mathématiques de base: \( \cdot, \div, +, -\). La somme et la soustraction peuvent être utilisées avec n'importe quel type de monôme, alors que la multiplication et la division ne devraient être utilisées qu'avec des nombres non nuls.

Pour les exemples suivants, les éléments en rouge sont ceux qui sont à changer de côté, alors que les éléments en turquoise sont les opérations effectuées.

Ajouter ou soustraire un monôme

$$ \begin{aligned} 17x-12 &=4x+3 &\vert & \\[2ex] 17x\color{red}{-12} &=4x+3 &\vert & +12 \\[3ex] 17x\color{red}{-12}\color{Turquoise}{+12} &=4x+3\color{Turquoise}{+12} &\vert & \\[3ex] 17x &=\color{red}{4x}+17 &\vert & -4x \\[3ex] 17x\color{Turquoise}{-4x} &=\color{red}{4x}\color{Turquoise}{-4x}+17 &\vert & \\[3ex] 13x &=17 \end{aligned} $$

Diviser par un nombre non nul

$$\begin{aligned} 33x-44&=77x+88 & \vert & \div 11 \\[3ex] \frac{33}{\color{Turquoise}{11}}x-\frac{44}{\color{Turquoise}{11}} &= \frac{77}{\color{Turquoise}{11}}x-\frac{88}{\color{Turquoise}{11}} & \vert & \\[3ex] 3x-4&=7x+8 & \vert & \\[3ex] \end{aligned}$$
Lors de la division, il est important de l'appliquer à tous les monômes de l'équation.

Multiplier par un nombre non nul

$$\begin{aligned} \frac{5}{2}x+\frac{7}{3} &= \frac{1}{4}x+4 & \vert & \cdot 12\\[3ex] \frac{5\cdot \color{Turquoise}{12} }{2}x+\frac{7\cdot \color{Turquoise}{12}}{3} &= \frac{1\cdot \color{Turquoise}{12}}{4}x+4\cdot \color{Turquoise}{12} & \vert & \\[3ex] \frac{60}{2} x+\frac{84}{3} &= \frac{12}{4}x+48 & \vert & \text{ Simplifier} & \\[3ex] 30x+28&=3x+48 \end{aligned}$$

Lorsque l'équation contient des fractions, il est d'usage de commencer par supprimer les fractions. Pour cela, on recherche le ppmc ou plus petit multiple commun des dénominateurs et on le multiple à tous les monômes de l'équation, y compris ceux ne contenant pas de fraction!

Dans l'exemple ci-dessus, le plus petit multiple de 2, 3 et 4 est 12.